Løs 2x^2+5x+3=20

$$2 { x }^{ 2 } +5x+3=20$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{161} - 5}{4} \approx 1,922144385$$

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}\approx -4,422144385$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

Subtraher 20 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+5x+3-20=20-20$$

Hvis 20 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+5x+3-20=0$$

Subtraher 20 fra 3.

$$2x^{2}+5x-17=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 5 med b og -17 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-17\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -17.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+136}}{2\times 2}$$

Adder 25 til 136.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4} når ± er plus. Adder -5 til \sqrt{161}.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-5±\sqrt{161}}{4} når ± er minus. Subtraher \sqrt{161} fra -5.

$$x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+5x+3=20$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+5x+3-3=20-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+5x=20-3$$

Subtraher 3 fra 20.

$$2x^{2}+5x=17$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{17}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{17}{2}$$

Divider \frac{5}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{17}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

Føj \frac{17}{2} til \frac{25}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{161}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{161}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{161}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{161}}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{161}}{4}$$

Subtraher \frac{5}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{161}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{161}-5}{4}$$