Løs 2x^2+3x-14=0

$$2 { x }^{ 2 } +3x-14=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=2$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-14. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Løsningen er det par, der får summen 3.

$$a=-4 b=7$$

Omskriv 2x^{2}+3x-14 som \left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right)$$

Ud2x i den første og 7 i den anden gruppe.

$$2x\left(x-2\right)+7\left(x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-2\right)\left(2x+7\right)$$

Løs x-2=0 og 2x+7=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+3x-14=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 3 med b og -14 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Adder 9 til 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-3±11}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±11}{4} når ± er plus. Adder -3 til 11.

$$x=\frac{8}{4}$$

Divider 8 med 4.

$$x=2$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±11}{4} når ± er minus. Subtraher 11 fra -3.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{-14}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+3x-14=0$$

Adder 14 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Hvis -14 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-14\right)$$

Subtraher -14 fra 0.

$$2x^{2}+3x=14$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{14}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Divider 14 med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=7$$

Divider \frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Adder 7 til \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Subtraher \frac{3}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$