Løs 2x^2+3x+1>0

$$2 { x }^{ 2 } +3x+1 > 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\infty,-1\right)\cup \left(-\frac{1}{2},\infty\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+3x+1=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 2 med a, 3 med b, og 1 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{-3±1}{4}$$

Løs ligningen x=\frac{-3±1}{4} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=-\frac{1}{2} x=-1$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)>0$$

For at produktet bliver positivt, skal x+\frac{1}{2} og x+1 begge være negative eller begge være positive. Overvej sagen, når x+\frac{1}{2} og x+1 begge er negative.

$$x+\frac{1}{2}<0 x+1<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x<-1.

$$x<-1$$

Overvej sagen, når x+\frac{1}{2} og x+1 begge er positive.

$$x+1>0 x+\frac{1}{2}>0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x>-\frac{1}{2}.

$$x>-\frac{1}{2}$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x<-1\text{; }x>-\frac{1}{2}$$