Løs 2x^2+13x-24=0

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

Løs for x

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 2x^{2}+ax+bx-24. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Løsningen er det par, der får summen 13.

$$a=-3 b=16$$

Omskriv 2x^{2}+13x-24 som \left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

Udx i den første og 8 i den anden gruppe.

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

Løs 2x-3=0 og x+8=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, 13 med b og -24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrér 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange -24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

Adder 169 til 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-13±19}{4} når ± er plus. Adder -13 til 19.

$$x=\frac{6}{4}$$

Reducer fraktionen \frac{6}{4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-13±19}{4} når ± er minus. Subtraher 19 fra -13.

$$x=-\frac{32}{4}$$

Divider -32 med 4.

$$x=-8$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Adder 24 på begge sider af ligningen.

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Hvis -24 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

Subtraher -24 fra 0.

$$2x^{2}+13x=24$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

Divider 24 med 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

Divider \frac{13}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{13}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{13}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{13}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Adder 12 til \frac{169}{16}.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Faktor x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Subtraher \frac{13}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$