Løs 2*(3x+4)-2*(5x+2)=3:(2x+2)+4*(4x+10)

$$2 \cdot ( 3 x + 4 ) - 2 \cdot ( 5 x + 2 ) = 3 : ( 2 x + 2 ) + 4 \cdot ( 4 x + 10 )$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}\approx -1,108452405$$

$$x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}\approx -1,691547595$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Variablen x må ikke være lig med -1, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med 2\left(x+1\right).

$$2\left(3x+4\right)\times 2\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Multiplicer 2 og 2 for at få 4.

$$4\left(3x+4\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med 3x+4.

$$\left(12x+16\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 12x+16 med x+1, og kombiner ens led.

$$12x^{2}+28x+16-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Multiplicer -2 og 2 for at få -4.

$$12x^{2}+28x+16-4\left(5x+2\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -4 med 5x+2.

$$12x^{2}+28x+16+\left(-20x-8\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -20x-8 med x+1, og kombiner ens led.

$$12x^{2}+28x+16-20x^{2}-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Kombiner 12x^{2} og -20x^{2} for at få -8x^{2}.

$$-8x^{2}+28x+16-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Kombiner 28x og -28x for at få 0.

$$-8x^{2}+16-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Subtraher 8 fra 16 for at få 8.

$$-8x^{2}+8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Multiplicer 4 og 2 for at få 8.

$$-8x^{2}+8=3+8\left(4x+10\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 8 med 4x+10.

$$-8x^{2}+8=3+\left(32x+80\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 32x+80 med x+1, og kombiner ens led.

$$-8x^{2}+8=3+32x^{2}+112x+80$$

Tilføj 3 og 80 for at få 83.

$$-8x^{2}+8=83+32x^{2}+112x$$

Subtraher 83 fra begge sider.

$$-8x^{2}+8-83=32x^{2}+112x$$

Subtraher 83 fra 8 for at få -75.

$$-8x^{2}-75=32x^{2}+112x$$

Subtraher 32x^{2} fra begge sider.

$$-8x^{2}-75-32x^{2}=112x$$

Kombiner -8x^{2} og -32x^{2} for at få -40x^{2}.

$$-40x^{2}-75=112x$$

Subtraher 112x fra begge sider.

$$-40x^{2}-75-112x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-40x^{2}-112x-75=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -40 med a, -112 med b og -75 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{\left(-112\right)^{2}-4\left(-40\right)\left(-75\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Kvadrér -112.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{12544-4\left(-40\right)\left(-75\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Multiplicer -4 gange -40.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{12544+160\left(-75\right)}}{2\left(-40\right)}$$

Multiplicer 160 gange -75.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{12544-12000}}{2\left(-40\right)}$$

Adder 12544 til -12000.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±\sqrt{544}}{2\left(-40\right)}$$

Tag kvadratroden af 544.

$$x=\frac{-\left(-112\right)±4\sqrt{34}}{2\left(-40\right)}$$

Det modsatte af -112 er 112.

$$x=\frac{112±4\sqrt{34}}{2\left(-40\right)}$$

Multiplicer 2 gange -40.

$$x=\frac{112±4\sqrt{34}}{-80}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{112±4\sqrt{34}}{-80} når ± er plus. Adder 112 til 4\sqrt{34}.

$$x=\frac{4\sqrt{34}+112}{-80}$$

Divider 112+4\sqrt{34} med -80.

$$x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{112±4\sqrt{34}}{-80} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{34} fra 112.

$$x=\frac{112-4\sqrt{34}}{-80}$$

Divider 112-4\sqrt{34} med -80.

$$x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5} x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Variablen x må ikke være lig med -1, fordi division med nul ikke er defineret. Multiplicer begge sider af ligningen med 2\left(x+1\right).

$$2\left(3x+4\right)\times 2\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Multiplicer 2 og 2 for at få 4.

$$4\left(3x+4\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 4 med 3x+4.

$$\left(12x+16\right)\left(x+1\right)-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 12x+16 med x+1, og kombiner ens led.

$$12x^{2}+28x+16-2\left(5x+2\right)\times 2\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Multiplicer -2 og 2 for at få -4.

$$12x^{2}+28x+16-4\left(5x+2\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -4 med 5x+2.

$$12x^{2}+28x+16+\left(-20x-8\right)\left(x+1\right)=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -20x-8 med x+1, og kombiner ens led.

$$12x^{2}+28x+16-20x^{2}-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Kombiner 12x^{2} og -20x^{2} for at få -8x^{2}.

$$-8x^{2}+28x+16-28x-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Kombiner 28x og -28x for at få 0.

$$-8x^{2}+16-8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Subtraher 8 fra 16 for at få 8.

$$-8x^{2}+8=3+4\left(4x+10\right)\times 2\left(x+1\right)$$

Multiplicer 4 og 2 for at få 8.

$$-8x^{2}+8=3+8\left(4x+10\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 8 med 4x+10.

$$-8x^{2}+8=3+\left(32x+80\right)\left(x+1\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 32x+80 med x+1, og kombiner ens led.

$$-8x^{2}+8=3+32x^{2}+112x+80$$

Tilføj 3 og 80 for at få 83.

$$-8x^{2}+8=83+32x^{2}+112x$$

Subtraher 32x^{2} fra begge sider.

$$-8x^{2}+8-32x^{2}=83+112x$$

Kombiner -8x^{2} og -32x^{2} for at få -40x^{2}.

$$-40x^{2}+8=83+112x$$

Subtraher 112x fra begge sider.

$$-40x^{2}+8-112x=83$$

Subtraher 8 fra begge sider.

$$-40x^{2}-112x=83-8$$

Subtraher 8 fra 83 for at få 75.

$$-40x^{2}-112x=75$$

Divider begge sider med -40.

$$\frac{-40x^{2}-112x}{-40}=\frac{75}{-40}$$

Division med -40 annullerer multiplikationen med -40.

$$x^{2}+\left(-\frac{112}{-40}\right)x=\frac{75}{-40}$$

Reducer fraktionen \frac{-112}{-40} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=\frac{75}{-40}$$

Reducer fraktionen \frac{75}{-40} til de laveste led ved at udtrække og annullere 5.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{15}{8}$$

Divider \frac{14}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{5}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{5} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{15}{8}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{5} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=-\frac{15}{8}+\frac{49}{25}$$

Føj -\frac{15}{8} til \frac{49}{25} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{17}{200}$$

Faktor x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{17}{200}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{200}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{\sqrt{34}}{20} x+\frac{7}{5}=-\frac{\sqrt{34}}{20}$$

Subtraher \frac{7}{5} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5} x=-\frac{\sqrt{34}}{20}-\frac{7}{5}$$