Løs 2+y(1-3y)=y(y-3)

$$2 + y ( 1 - 3 y ) = y ( y - 3 )$$

Løs for y

$$y = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere y med 1-3y.

$$2+y-3y^{2}=y\left(y-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere y med y-3.

$$2+y-3y^{2}=y^{2}-3y$$

Subtraher y^{2} fra begge sider.

$$2+y-3y^{2}-y^{2}=-3y$$

Kombiner -3y^{2} og -y^{2} for at få -4y^{2}.

$$2+y-4y^{2}=-3y$$

Tilføj 3y på begge sider.

$$2+y-4y^{2}+3y=0$$

Kombiner y og 3y for at få 4y.

$$2+4y-4y^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-4y^{2}+4y+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, 4 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér 4.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+16\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 16 gange 2.

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+32}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 16 til 32.

$$y=\frac{-4±\sqrt{48}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af 48.

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8} når ± er plus. Adder -4 til 4\sqrt{3}.

$$y=\frac{4\sqrt{3}-4}{-8}$$

Divider -4+4\sqrt{3} med -8.

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{3} fra -4.

$$y=\frac{-4\sqrt{3}-4}{-8}$$

Divider -4-4\sqrt{3} med -8.

$$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2} y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere y med 1-3y.

$$2+y-3y^{2}=y\left(y-3\right)$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere y med y-3.

$$2+y-3y^{2}=y^{2}-3y$$

Subtraher y^{2} fra begge sider.

$$2+y-3y^{2}-y^{2}=-3y$$

Kombiner -3y^{2} og -y^{2} for at få -4y^{2}.

$$2+y-4y^{2}=-3y$$

Tilføj 3y på begge sider.

$$2+y-4y^{2}+3y=0$$

Kombiner y og 3y for at få 4y.

$$2+4y-4y^{2}=0$$

Subtraher 2 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$4y-4y^{2}=-2$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-4y^{2}+4y=-2$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4y^{2}+4y}{-4}=-\frac{2}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$y^{2}+\frac{4}{-4}y=-\frac{2}{-4}$$

Divider 4 med -4.

$$y^{2}-y=-\frac{2}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$y^{2}-y=\frac{1}{2}$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Føj \frac{1}{2} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktor y^{2}-y+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Forenkling.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2} y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$