Løs 18-45x=64-32x+4x^2

$$18-45x=64-32x+4 { x }^{ 2 }$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-9\sqrt{7}i-13}{8}\approx -1,625-2,976470225i$$

$$x=\frac{-13+9\sqrt{7}i}{8}\approx -1,625+2,976470225i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher 64 fra begge sider.

$$18-45x-64=-32x+4x^{2}$$

Subtraher 64 fra 18 for at få -46.

$$-46-45x=-32x+4x^{2}$$

Tilføj 32x på begge sider.

$$-46-45x+32x=4x^{2}$$

Kombiner -45x og 32x for at få -13x.

$$-46-13x=4x^{2}$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$-46-13x-4x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-4x^{2}-13x-46=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, -13 med b og -46 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-46\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-4\right)\left(-46\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+16\left(-46\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 16 gange -46.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-736}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 169 til -736.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{-567}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af -567.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±9\sqrt{7}i}{2\left(-4\right)}$$

Det modsatte af -13 er 13.

$$x=\frac{13±9\sqrt{7}i}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$x=\frac{13±9\sqrt{7}i}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{13±9\sqrt{7}i}{-8} når ± er plus. Adder 13 til 9i\sqrt{7}.

$$x=\frac{13+9\sqrt{7}i}{-8}$$

Divider 13+9i\sqrt{7} med -8.

$$x=\frac{-9\sqrt{7}i-13}{8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{13±9\sqrt{7}i}{-8} når ± er minus. Subtraher 9i\sqrt{7} fra 13.

$$x=\frac{-9\sqrt{7}i+13}{-8}$$

Divider 13-9i\sqrt{7} med -8.

$$x=\frac{-13+9\sqrt{7}i}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-9\sqrt{7}i-13}{8} x=\frac{-13+9\sqrt{7}i}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Tilføj 32x på begge sider.

$$18-45x+32x=64+4x^{2}$$

Kombiner -45x og 32x for at få -13x.

$$18-13x=64+4x^{2}$$

Subtraher 4x^{2} fra begge sider.

$$18-13x-4x^{2}=64$$

Subtraher 18 fra begge sider.

$$-13x-4x^{2}=64-18$$

Subtraher 18 fra 64 for at få 46.

$$-13x-4x^{2}=46$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-4x^{2}-13x=46$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4x^{2}-13x}{-4}=\frac{46}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{13}{-4}\right)x=\frac{46}{-4}$$

Divider -13 med -4.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x=\frac{46}{-4}$$

Reducer fraktionen \frac{46}{-4} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x=-\frac{23}{2}$$

Divider \frac{13}{4}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{13}{8}. Adder derefter kvadratet af \frac{13}{8} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{23}{2}+\left(\frac{13}{8}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{13}{8} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=-\frac{23}{2}+\frac{169}{64}$$

Føj -\frac{23}{2} til \frac{169}{64} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}=-\frac{567}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{13}{4}x+\frac{169}{64}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}=-\frac{567}{64}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{567}{64}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{13}{8}=\frac{9\sqrt{7}i}{8} x+\frac{13}{8}=-\frac{9\sqrt{7}i}{8}$$

Subtraher \frac{13}{8} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{-13+9\sqrt{7}i}{8} x=\frac{-9\sqrt{7}i-13}{8}$$