Løs 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktorisere venstre side ved at gruppere. Først skal venstre side omskrives som 18x^{2}+ax+bx-5. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -9.

$$a=-15 b=6$$

Omskriv 18x^{2}-9x-5 som \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Udfaktoriser 3x i 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Udfaktoriser fællesleddet 6x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Løs 6x-5=0 og 3x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 18 med a, -9 med b og -5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Kvadrér -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multiplicer -4 gange 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multiplicer -72 gange -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Adder 81 til 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Tag kvadratroden af 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Det modsatte af -9 er 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Multiplicer 2 gange 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±21}{36} når ± er plus. Adder 9 til 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Reducer fraktionen \frac{30}{36} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{9±21}{36} når ± er minus. Subtraher 21 fra 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Reducer fraktionen \frac{-12}{36} til de laveste led ved at udtrække og annullere 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Adder 5 på begge sider af ligningen.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Hvis -5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Subtraher -5 fra 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Divider begge sider med 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Division med 18 annullerer multiplikationen med 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Reducer fraktionen \frac{-9}{18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Divider -\frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Føj \frac{5}{18} til \frac{1}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Adder \frac{1}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$