Løs 17x^2-32x+15=0

$$17 { x }^{ 2 } -32x+15=0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x=\frac{15}{17}\approx 0,882352941$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 17x^{2}+ax+bx+15. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-32 ab=17\times 15=255$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er negative, er a og b begge negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 255.

$$-1,-255 -3,-85 -5,-51 -15,-17$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1-255=-256 -3-85=-88 -5-51=-56 -15-17=-32$$

Løsningen er det par, der får summen -32.

$$a=-17 b=-15$$

Omskriv 17x^{2}-32x+15 som \left(17x^{2}-17x\right)+\left(-15x+15\right).

$$\left(17x^{2}-17x\right)+\left(-15x+15\right)$$

Ud17x i den første og -15 i den anden gruppe.

$$17x\left(x-1\right)-15\left(x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-1\right)\left(17x-15\right)$$

Løs x-1=0 og 17x-15=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=1 x=\frac{15}{17}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$17x^{2}-32x+15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 17 med a, -32 med b og 15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 17\times 15}}{2\times 17}$$

Kvadrér -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 17\times 15}}{2\times 17}$$

Multiplicer -4 gange 17.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-68\times 15}}{2\times 17}$$

Multiplicer -68 gange 15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1020}}{2\times 17}$$

Adder 1024 til -1020.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{4}}{2\times 17}$$

Tag kvadratroden af 4.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±2}{2\times 17}$$

Det modsatte af -32 er 32.

$$x=\frac{32±2}{2\times 17}$$

Multiplicer 2 gange 17.

$$x=\frac{32±2}{34}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{32±2}{34} når ± er plus. Adder 32 til 2.

$$x=\frac{34}{34}$$

Divider 34 med 34.

$$x=1$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{32±2}{34} når ± er minus. Subtraher 2 fra 32.

$$x=\frac{30}{34}$$

Reducer fraktionen \frac{30}{34} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{15}{17}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=1 x=\frac{15}{17}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$17x^{2}-32x+15=0$$

Subtraher 15 fra begge sider af ligningen.

$$17x^{2}-32x+15-15=-15$$

Hvis 15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$17x^{2}-32x=-15$$

Divider begge sider med 17.

$$\frac{17x^{2}-32x}{17}=-\frac{15}{17}$$

Division med 17 annullerer multiplikationen med 17.

$$x^{2}-\frac{32}{17}x=-\frac{15}{17}$$

Divider -\frac{32}{17}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{16}{17}. Adder derefter kvadratet af -\frac{16}{17} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{32}{17}x+\left(-\frac{16}{17}\right)^{2}=-\frac{15}{17}+\left(-\frac{16}{17}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{16}{17} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{32}{17}x+\frac{256}{289}=-\frac{15}{17}+\frac{256}{289}$$

Føj -\frac{15}{17} til \frac{256}{289} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{32}{17}x+\frac{256}{289}=\frac{1}{289}$$

Faktor x^{2}-\frac{32}{17}x+\frac{256}{289}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{16}{17}\right)^{2}=\frac{1}{289}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{17}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{289}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{16}{17}=\frac{1}{17} x-\frac{16}{17}=-\frac{1}{17}$$

Adder \frac{16}{17} på begge sider af ligningen.

$$x=1 x=\frac{15}{17}$$