Løs 16x^2-64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0,25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0,25i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 16 med a, -64 med b og 65 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Kvadrér -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Multiplicer -4 gange 16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

Multiplicer -64 gange 65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

Adder 4096 til -4160.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Tag kvadratroden af -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

Det modsatte af -64 er 64.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

Multiplicer 2 gange 16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{64±8i}{32} når ± er plus. Adder 64 til 8i.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

Divider 64+8i med 32.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{64±8i}{32} når ± er minus. Subtraher 8i fra 64.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

Divider 64-8i med 32.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Subtraher 65 fra begge sider af ligningen.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

Hvis 65 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$16x^{2}-64x=-65$$

Divider begge sider med 16.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

Division med 16 annullerer multiplikationen med 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

Divider -64 med 16.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

Adder -\frac{65}{16} til 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Forenkling.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$