Løs 16x^2-16x+5=0

$$16 x ^ { 2 } - 16 x + 5 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}i=0,5+0,25i$$

$$x=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}i=0,5-0,25i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$16x^{2}-16x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 16 med a, -16 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 16\times 5}}{2\times 16}$$

Kvadrér -16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 16\times 5}}{2\times 16}$$

Multiplicer -4 gange 16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-64\times 5}}{2\times 16}$$

Multiplicer -64 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-320}}{2\times 16}$$

Adder 256 til -320.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Tag kvadratroden af -64.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±8i}{2\times 16}$$

Det modsatte af -16 er 16.

$$x=\frac{16±8i}{2\times 16}$$

Multiplicer 2 gange 16.

$$x=\frac{16±8i}{32}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{16±8i}{32} når ± er plus. Adder 16 til 8i.

$$x=\frac{16+8i}{32}$$

Divider 16+8i med 32.

$$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{16±8i}{32} når ± er minus. Subtraher 8i fra 16.

$$x=\frac{16-8i}{32}$$

Divider 16-8i med 32.

$$x=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}i$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}i x=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}i$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$16x^{2}-16x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$16x^{2}-16x+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$16x^{2}-16x=-5$$

Divider begge sider med 16.

$$\frac{16x^{2}-16x}{16}=-\frac{5}{16}$$

Division med 16 annullerer multiplikationen med 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{16}{16}\right)x=-\frac{5}{16}$$

Divider -16 med 16.

$$x^{2}-x=-\frac{5}{16}$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{16}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{16}+\frac{1}{4}$$

Føj -\frac{5}{16} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{16}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}i x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}i$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}i x=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}i$$