Løs 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 16x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Løsningen er det par, der får summen 8.

$$a=-4 b=12$$

Omskriv 16x^{2}+8x-3 som \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

Ud4x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 4x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Løs 4x-1=0 og 4x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 16 med a, 8 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Kvadrér 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Multiplicer -4 gange 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Multiplicer -64 gange -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Adder 64 til 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Tag kvadratroden af 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Multiplicer 2 gange 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±16}{32} når ± er plus. Adder -8 til 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

Reducer fraktionen \frac{8}{32} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x=\frac{1}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8±16}{32} når ± er minus. Subtraher 16 fra -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Reducer fraktionen \frac{-24}{32} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Adder 3 på begge sider af ligningen.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Hvis -3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

Subtraher -3 fra 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Divider begge sider med 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

Division med 16 annullerer multiplikationen med 16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

Reducer fraktionen \frac{8}{16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Divider \frac{1}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{1}{4}. Adder derefter kvadratet af \frac{1}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{1}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Føj \frac{3}{16} til \frac{1}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Subtraher \frac{1}{4} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$