Løs 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 16x^{2}+ax+bx-9. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Løsningen er det par, der får summen 10.

$$a=-8 b=18$$

Omskriv 16x^{2}+10x-9 som \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Ud8x i den første og 9 i den anden gruppe.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Løs 2x-1=0 og 8x+9=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 16 med a, 10 med b og -9 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Kvadrér 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multiplicer -4 gange 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multiplicer -64 gange -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Adder 100 til 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Tag kvadratroden af 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Multiplicer 2 gange 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±26}{32} når ± er plus. Adder -10 til 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Reducer fraktionen \frac{16}{32} til de laveste led ved at udtrække og annullere 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-10±26}{32} når ± er minus. Subtraher 26 fra -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Reducer fraktionen \frac{-36}{32} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Adder 9 på begge sider af ligningen.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Hvis -9 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Subtraher -9 fra 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Divider begge sider med 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Division med 16 annullerer multiplikationen med 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Reducer fraktionen \frac{10}{16} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Divider \frac{5}{8}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{5}{16}. Adder derefter kvadratet af \frac{5}{16} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{5}{16} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Føj \frac{9}{16} til \frac{25}{256} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Faktor x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Subtraher \frac{5}{16} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$