Løs 16x^2+10x+1<0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x + 1 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{8}\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$16x^{2}+10x+1=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 16 med a, 10 med b, og 1 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\times 1}}{2\times 16}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{-10±6}{32}$$

Løs ligningen x=\frac{-10±6}{32} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{1}{2}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$16\left(x+\frac{1}{8}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)<0$$

For at produktet bliver negativt, skal x+\frac{1}{8} og x+\frac{1}{2} have modsatte tegn. Overvej sagen, når x+\frac{1}{8} er positiv og x+\frac{1}{2} er negativ.

$$x+\frac{1}{8}>0 x+\frac{1}{2}<0$$

Dette er falsk for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Overvej sagen, når x+\frac{1}{2} er positiv og x+\frac{1}{8} er negativ.

$$x+\frac{1}{2}>0 x+\frac{1}{8}<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x\in \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{8}\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{8}\right)$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x\in \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{8}\right)$$