Løs 15x^2-525x-4500=0

$$15 x ^ { 2 } - 525 x - 4500 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{5 \sqrt{97} + 35}{2} \approx 42,122144504$$

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}\approx -7,122144504$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 15 med a, -525 med b og -4500 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{\left(-525\right)^{2}-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Kvadrér -525.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Multiplicer -4 gange 15.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-60\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Multiplicer -60 gange -4500.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625+270000}}{2\times 15}$$

Adder 275625 til 270000.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{545625}}{2\times 15}$$

Tag kvadratroden af 545625.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Det modsatte af -525 er 525.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Multiplicer 2 gange 15.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30} når ± er plus. Adder 525 til 75\sqrt{97}.

$$x=\frac{75\sqrt{97}+525}{30}$$

Divider 525+75\sqrt{97} med 30.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30} når ± er minus. Subtraher 75\sqrt{97} fra 525.

$$x=\frac{525-75\sqrt{97}}{30}$$

Divider 525-75\sqrt{97} med 30.

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Adder 4500 på begge sider af ligningen.

$$15x^{2}-525x-4500-\left(-4500\right)=-\left(-4500\right)$$

Hvis -4500 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$15x^{2}-525x=-\left(-4500\right)$$

Subtraher -4500 fra 0.

$$15x^{2}-525x=4500$$

Divider begge sider med 15.

$$\frac{15x^{2}-525x}{15}=\frac{4500}{15}$$

Division med 15 annullerer multiplikationen med 15.

$$x^{2}+\left(-\frac{525}{15}\right)x=\frac{4500}{15}$$

Divider -525 med 15.

$$x^{2}-35x=\frac{4500}{15}$$

Divider 4500 med 15.

$$x^{2}-35x=300$$

Divider -35, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{35}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{35}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-35x+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}=300+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{35}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=300+\frac{1225}{4}$$

Adder 300 til \frac{1225}{4}.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=\frac{2425}{4}$$

Faktor x^{2}-35x+\frac{1225}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}=\frac{2425}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2425}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{35}{2}=\frac{5\sqrt{97}}{2} x-\frac{35}{2}=-\frac{5\sqrt{97}}{2}$$

Adder \frac{35}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$