Løs 15x^2-4x-4=0

$$15 x ^ { 2 } - 4 x - 4 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 15x^{2}+ax+bx-4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Løsningen er det par, der får summen -4.

$$a=-10 b=6$$

Omskriv 15x^{2}-4x-4 som \left(15x^{2}-10x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(15x^{2}-10x\right)+\left(6x-4\right)$$

Ud5x i den første og 2 i den anden gruppe.

$$5x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-2\right)\left(5x+2\right)$$

Løs 3x-2=0 og 5x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$15x^{2}-4x-4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 15 med a, -4 med b og -4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Kvadrér -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplicer -4 gange 15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplicer -60 gange -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Adder 16 til 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Tag kvadratroden af 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 15}$$

Det modsatte af -4 er 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 15}$$

Multiplicer 2 gange 15.

$$x=\frac{4±16}{30}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±16}{30} når ± er plus. Adder 4 til 16.

$$x=\frac{20}{30}$$

Reducer fraktionen \frac{20}{30} til de laveste led ved at udtrække og annullere 10.

$$x=\frac{2}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{4±16}{30} når ± er minus. Subtraher 16 fra 4.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Reducer fraktionen \frac{-12}{30} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$15x^{2}-4x-4=0$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$15x^{2}-4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Hvis -4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$15x^{2}-4x=-\left(-4\right)$$

Subtraher -4 fra 0.

$$15x^{2}-4x=4$$

Divider begge sider med 15.

$$\frac{15x^{2}-4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Division med 15 annullerer multiplikationen med 15.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Divider -\frac{4}{15}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{15}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{15} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x+\left(-\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{15} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Føj \frac{4}{15} til \frac{4}{225} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x-\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Adder \frac{2}{15} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{2}{5}$$