Løs 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 15x^{2}+ax+bx+2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Løsningen er det par, der får summen 11.

$$a=5 b=6$$

Omskriv 15x^{2}+11x+2 som \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Ud5x i den første og 2 i den anden gruppe.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Løs 3x+1=0 og 5x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 15 med a, 11 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Kvadrér 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplicer -4 gange 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplicer -60 gange 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Adder 121 til -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Tag kvadratroden af 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Multiplicer 2 gange 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-11±1}{30} når ± er plus. Adder -11 til 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Reducer fraktionen \frac{-10}{30} til de laveste led ved at udtrække og annullere 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-11±1}{30} når ± er minus. Subtraher 1 fra -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Reducer fraktionen \frac{-12}{30} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Hvis 2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Divider begge sider med 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Division med 15 annullerer multiplikationen med 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Divider \frac{11}{15}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{11}{30}. Adder derefter kvadratet af \frac{11}{30} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{11}{30} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Føj -\frac{2}{15} til \frac{121}{900} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Faktor x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Subtraher \frac{11}{30} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$