Løs 15(x^2-1)>-16x

$$15 ( x ^ { 2 } - 1 ) > - 16 x$$

Løs for x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{5}{3}\right)\cup \left(\frac{3}{5},\infty\right)$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere 15 med x^{2}-1.

$$15x^{2}-15>-16x$$

Tilføj 16x på begge sider.

$$15x^{2}-15+16x>0$$

For at løse uligheden skal du faktorisere venstre side. Kvadratisk polynomium kan faktoriseres ved hjælp af transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), hvor x_{1} og x_{2} er løsninger af den kvadratiske ligning ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-15+16x=0$$

Alle ligninger i formlen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstat 15 med a, 16 med b, og -15 med c i den kvadratiske formel.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 15\left(-15\right)}}{2\times 15}$$

Lav beregningerne.

$$x=\frac{-16±34}{30}$$

Løs ligningen x=\frac{-16±34}{30} når ± er plus, og når ± er minus.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{5}{3}$$

Omskriv uligheden ved hjælp af de hentede løsninger.

$$15\left(x-\frac{3}{5}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)>0$$

For at produktet bliver positivt, skal x-\frac{3}{5} og x+\frac{5}{3} begge være negative eller begge være positive. Overvej sagen, når x-\frac{3}{5} og x+\frac{5}{3} begge er negative.

$$x-\frac{3}{5}<0 x+\frac{5}{3}<0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x<-\frac{5}{3}.

$$x<-\frac{5}{3}$$

Overvej sagen, når x-\frac{3}{5} og x+\frac{5}{3} begge er positive.

$$x+\frac{5}{3}>0 x-\frac{3}{5}>0$$

Løsningen, der opfylder begge uligheder, er x>\frac{3}{5}.

$$x>\frac{3}{5}$$

Den endelige løsning er foreningen af de hentede løsninger.

$$x<-\frac{5}{3}\text{; }x>\frac{3}{5}$$