Løs 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Løs for x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 15x^{2}+ax+bx-4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Løsningen er det par, der får summen 4.

$$a=-6 b=10$$

Omskriv 15x^{2}+4x-4 som \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Ud3x i den første og 2 i den anden gruppe.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 5x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Løs 5x-2=0 og 3x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 15 med a, 4 med b og -4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplicer -4 gange 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplicer -60 gange -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Adder 16 til 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Tag kvadratroden af 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Multiplicer 2 gange 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±16}{30} når ± er plus. Adder -4 til 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Reducer fraktionen \frac{12}{30} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±16}{30} når ± er minus. Subtraher 16 fra -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Reducer fraktionen \frac{-20}{30} til de laveste led ved at udtrække og annullere 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Hvis -4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Subtraher -4 fra 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Divider begge sider med 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Division med 15 annullerer multiplikationen med 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Divider \frac{4}{15}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{2}{15}. Adder derefter kvadratet af \frac{2}{15} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{2}{15} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Føj \frac{4}{15} til \frac{4}{225} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Subtraher \frac{2}{15} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$