Løs 15-x^2+4x-5=0

$$15 - x ^ { 2 } + 4 x - 5 = 0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{14}+2\approx 5,741657387$$

$$x=2-\sqrt{14}\approx -1,741657387$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher 5 fra 15 for at få 10.

$$10-x^{2}+4x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+4x+10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 4 med b og 10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange 10.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+40}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 16 til 40.

$$x=\frac{-4±\sqrt{56}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 56.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{14}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{14}}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±2\sqrt{14}}{-2} når ± er plus. Adder -4 til 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}-4}{-2}$$

Divider -4+2\sqrt{14} med -2.

$$x=2-\sqrt{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±2\sqrt{14}}{-2} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{14} fra -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}-4}{-2}$$

Divider -4-2\sqrt{14} med -2.

$$x=\sqrt{14}+2$$

Ligningen er nu løst.

$$x=2-\sqrt{14} x=\sqrt{14}+2$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher 5 fra 15 for at få 10.

$$10-x^{2}+4x=0$$

Subtraher 10 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$-x^{2}+4x=-10$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{10}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{10}{-1}$$

Divider 4 med -1.

$$x^{2}-4x=-\frac{10}{-1}$$

Divider -10 med -1.

$$x^{2}-4x=10$$

Divider -4, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -2. Adder derefter kvadratet af -2 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=10+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrér -2.

$$x^{2}-4x+4=10+4$$

Adder 10 til 4.

$$x^{2}-4x+4=14$$

Faktor x^{2}-4x+4. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=14$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{14}$$

Forenkling.

$$x-2=\sqrt{14} x-2=-\sqrt{14}$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$x=\sqrt{14}+2 x=2-\sqrt{14}$$