Løs 14x^2+3x-2=0

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 14x^{2}+ax+bx-2. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Løsningen er det par, der får summen 3.

$$a=-4 b=7$$

Omskriv 14x^{2}+3x-2 som \left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right).

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

Udfaktoriser 2x i 14x^{2}-4x.

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

Udfaktoriser fællesleddet 7x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Løs 7x-2=0 og 2x+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 14 med a, 3 med b og -2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Multiplicer -4 gange 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Multiplicer -56 gange -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

Adder 9 til 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

Tag kvadratroden af 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

Multiplicer 2 gange 14.

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±11}{28} når ± er plus. Adder -3 til 11.

$$x=\frac{8}{28}$$

Reducer fraktionen \frac{8}{28} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{2}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±11}{28} når ± er minus. Subtraher 11 fra -3.

$$x=-\frac{14}{28}$$

Reducer fraktionen \frac{-14}{28} til de laveste led ved at udtrække og annullere 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Adder 2 på begge sider af ligningen.

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Hvis -2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

Subtraher -2 fra 0.

$$14x^{2}+3x=2$$

Divider begge sider med 14.

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

Division med 14 annullerer multiplikationen med 14.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{14} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

Divider \frac{3}{14}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{28}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{28} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{28} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

Føj \frac{1}{7} til \frac{9}{784} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

Faktor x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

Subtraher \frac{3}{28} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$