Løs 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 14x^{2}+ax+bx-15. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Løsningen er det par, der får summen -29.

$$a=-35 b=6$$

Omskriv 14x^{2}-29x-15 som \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

Ud7x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x-5 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Løs 2x-5=0 og 7x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 14 med a, -29 med b og -15 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Kvadrér -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Multiplicer -4 gange 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Multiplicer -56 gange -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Adder 841 til 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Tag kvadratroden af 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

Det modsatte af -29 er 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Multiplicer 2 gange 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{29±41}{28} når ± er plus. Adder 29 til 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

Reducer fraktionen \frac{70}{28} til de laveste led ved at udtrække og annullere 14.

$$x=\frac{5}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{29±41}{28} når ± er minus. Subtraher 41 fra 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

Reducer fraktionen \frac{-12}{28} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Adder 15 på begge sider af ligningen.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Hvis -15 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

Subtraher -15 fra 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Divider begge sider med 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

Division med 14 annullerer multiplikationen med 14.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Divider -\frac{29}{14}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{29}{28}. Adder derefter kvadratet af -\frac{29}{28} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{29}{28} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

Føj \frac{15}{14} til \frac{841}{784} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Faktor x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Adder \frac{29}{28} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$