Løs 13x^2-5x-20=0

$$13 x ^ { 2 } - 5 x - 20 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{1065} + 5}{26} \approx 1,447474529$$

$$x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}\approx -1,062859144$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$13x^{2}-5x-20=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 13 med a, -5 med b og -20 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 13\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

Kvadrér -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 13\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

Multiplicer -4 gange 13.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-52\left(-20\right)}}{2\times 13}$$

Multiplicer -52 gange -20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+1040}}{2\times 13}$$

Adder 25 til 1040.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1065}}{2\times 13}$$

Det modsatte af -5 er 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{1065}}{2\times 13}$$

Multiplicer 2 gange 13.

$$x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26} når ± er plus. Adder 5 til \sqrt{1065}.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{5±\sqrt{1065}}{26} når ± er minus. Subtraher \sqrt{1065} fra 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26} x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$13x^{2}-5x-20=0$$

Adder 20 på begge sider af ligningen.

$$13x^{2}-5x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Hvis -20 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$13x^{2}-5x=-\left(-20\right)$$

Subtraher -20 fra 0.

$$13x^{2}-5x=20$$

Divider begge sider med 13.

$$\frac{13x^{2}-5x}{13}=\frac{20}{13}$$

Division med 13 annullerer multiplikationen med 13.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x=\frac{20}{13}$$

Divider -\frac{5}{13}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{26}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{26} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}=\frac{20}{13}+\left(-\frac{5}{26}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{26} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=\frac{20}{13}+\frac{25}{676}$$

Føj \frac{20}{13} til \frac{25}{676} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}=\frac{1065}{676}$$

Faktor x^{2}-\frac{5}{13}x+\frac{25}{676}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}=\frac{1065}{676}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1065}{676}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{5}{26}=\frac{\sqrt{1065}}{26} x-\frac{5}{26}=-\frac{\sqrt{1065}}{26}$$

Adder \frac{5}{26} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{1065}+5}{26} x=\frac{5-\sqrt{1065}}{26}$$