Løs 13x=x^2+30

$$13 x = x ^ { 2 } + 30$$

Løs for x

$$x=3$$

$$x=10$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$13x-x^{2}=30$$

Subtraher 30 fra begge sider.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -x^{2}+ax+bx-30. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=13 ab=-\left(-30\right)=30$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Løsningen er det par, der får summen 13.

$$a=10 b=3$$

Omskriv -x^{2}+13x-30 som \left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Ud-x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$-x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-10 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-10\right)\left(-x+3\right)$$

Løs x-10=0 og -x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=10 x=3$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$13x-x^{2}=30$$

Subtraher 30 fra begge sider.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 13 med b og -30 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+4\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 169 til -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=\frac{-13±7}{-2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-13±7}{-2} når ± er plus. Adder -13 til 7.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Divider -6 med -2.

$$x=3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-13±7}{-2} når ± er minus. Subtraher 7 fra -13.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Divider -20 med -2.

$$x=10$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3 x=10$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher x^{2} fra begge sider.

$$13x-x^{2}=30$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+13x=30$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+13x}{-1}=\frac{30}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{13}{-1}x=\frac{30}{-1}$$

Divider 13 med -1.

$$x^{2}-13x=\frac{30}{-1}$$

Divider 30 med -1.

$$x^{2}-13x=-30$$

Divider -13, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{13}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{13}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{13}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

Adder -30 til \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktor x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adder \frac{13}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=10 x=3$$