Løs 12x-4-9x^2=0

$$12x-4-9 { x }^{ 2 } =0$$

Løs for x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-9x^{2}+12x-4=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -9x^{2}+ax+bx-4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=12 ab=-9\left(-4\right)=36$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Løsningen er det par, der får summen 12.

$$a=6 b=6$$

Omskriv -9x^{2}+12x-4 som \left(-9x^{2}+6x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(-9x^{2}+6x\right)+\left(6x-4\right)$$

Ud-3x i den første og 2 i den anden gruppe.

$$-3x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x-2 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x-2\right)\left(-3x+2\right)$$

Løs 3x-2=0 og -3x+2=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-9x^{2}+12x-4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -9 med a, 12 med b og -4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-9\right)\left(-4\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrér 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-9\right)\left(-4\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer -4 gange -9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+36\left(-4\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 36 gange -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\left(-9\right)}$$

Adder 144 til -144.

$$x=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\left(-9\right)}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{12}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 2 gange -9.

$$x=-\frac{12}{-18}$$

Reducer fraktionen \frac{-12}{-18} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-9x^{2}+12x-4=0$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$-9x^{2}+12x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Hvis -4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-9x^{2}+12x=-\left(-4\right)$$

Subtraher -4 fra 0.

$$-9x^{2}+12x=4$$

Divider begge sider med -9.

$$\frac{-9x^{2}+12x}{-9}=\frac{4}{-9}$$

Division med -9 annullerer multiplikationen med -9.

$$x^{2}+\frac{12}{-9}x=\frac{4}{-9}$$

Reducer fraktionen \frac{12}{-9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{-9}$$

Divider 4 med -9.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

Divider -\frac{4}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{2}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{2}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{2}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Føj -\frac{4}{9} til \frac{4}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

Adder \frac{2}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=\frac{2}{3}$$