Løs 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 3x^{2}+ax+bx-2300. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Løsningen er det par, der får summen 200.

$$a=-30 b=230$$

Omskriv 3x^{2}+200x-2300 som \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Ud3x i den første og 230 i den anden gruppe.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-10 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Løs x-10=0 og 3x+230=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 120 med a, 8000 med b og -92000 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Kvadrér 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multiplicer -4 gange 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multiplicer -480 gange -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Adder 64000000 til 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Tag kvadratroden af 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Multiplicer 2 gange 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8000±10400}{240} når ± er plus. Adder -8000 til 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Divider 2400 med 240.

$$x=10$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-8000±10400}{240} når ± er minus. Subtraher 10400 fra -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Reducer fraktionen \frac{-18400}{240} til de laveste led ved at udtrække og annullere 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Adder 92000 på begge sider af ligningen.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Hvis -92000 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Subtraher -92000 fra 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Divider begge sider med 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Division med 120 annullerer multiplikationen med 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Reducer fraktionen \frac{8000}{120} til de laveste led ved at udtrække og annullere 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Reducer fraktionen \frac{92000}{120} til de laveste led ved at udtrække og annullere 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Divider \frac{200}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{100}{3}. Adder derefter kvadratet af \frac{100}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{100}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Føj \frac{2300}{3} til \frac{10000}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Subtraher \frac{100}{3} fra begge sider af ligningen.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$