Løs 12x^2-2x+5=0

$$12 x ^ { 2 } - 2 x + 5 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}\approx 0,083333333+0,640095479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}\approx 0,083333333-0,640095479i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 12 med a, -2 med b og 5 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Kvadrér -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplicer -4 gange 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48\times 5}}{2\times 12}$$

Multiplicer -48 gange 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-240}}{2\times 12}$$

Adder 4 til -240.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-236}}{2\times 12}$$

Tag kvadratroden af -236.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Det modsatte af -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{2\times 12}$$

Multiplicer 2 gange 12.

$$x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} når ± er plus. Adder 2 til 2i\sqrt{59}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{59}i}{24}$$

Divider 2+2i\sqrt{59} med 24.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{2±2\sqrt{59}i}{24} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{59} fra 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{59}i+2}{24}$$

Divider 2-2i\sqrt{59} med 24.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$12x^{2}-2x+5=0$$

Subtraher 5 fra begge sider af ligningen.

$$12x^{2}-2x+5-5=-5$$

Hvis 5 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$12x^{2}-2x=-5$$

Divider begge sider med 12.

$$\frac{12x^{2}-2x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Division med 12 annullerer multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{12}\right)x=-\frac{5}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=-\frac{5}{12}$$

Divider -\frac{1}{6}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{12}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{12} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{12} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{5}{12}+\frac{1}{144}$$

Føj -\frac{5}{12} til \frac{1}{144} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=-\frac{59}{144}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=-\frac{59}{144}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{144}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{\sqrt{59}i}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{\sqrt{59}i}{12}$$

Adder \frac{1}{12} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1+\sqrt{59}i}{12} x=\frac{-\sqrt{59}i+1}{12}$$