Løs 12x^2-12x-6=0

$$12 x ^ { 2 } - 12 x - 6 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 12 med a, -12 med b og -6 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrér -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicer -4 gange 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicer -48 gange -6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+288}}{2\times 12}$$

Adder 144 til 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{432}}{2\times 12}$$

Tag kvadratroden af 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Det modsatte af -12 er 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{2\times 12}$$

Multiplicer 2 gange 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} når ± er plus. Adder 12 til 12\sqrt{3}.

$$x=\frac{12\sqrt{3}+12}{24}$$

Divider 12+12\sqrt{3} med 24.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{12±12\sqrt{3}}{24} når ± er minus. Subtraher 12\sqrt{3} fra 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{3}}{24}$$

Divider 12-12\sqrt{3} med 24.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$12x^{2}-12x-6=0$$

Adder 6 på begge sider af ligningen.

$$12x^{2}-12x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Hvis -6 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$12x^{2}-12x=-\left(-6\right)$$

Subtraher -6 fra 0.

$$12x^{2}-12x=6$$

Divider begge sider med 12.

$$\frac{12x^{2}-12x}{12}=\frac{6}{12}$$

Division med 12 annullerer multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{12}\right)x=\frac{6}{12}$$

Divider -12 med 12.

$$x^{2}-x=\frac{6}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{6}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Føj \frac{1}{2} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$