Løs 12x^2-160x+400=0

$$12 { x }^{ 2 } -160x+400 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

$$x=10$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$12x^{2}-160x+400=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 12 med a, -160 med b og 400 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{\left(-160\right)^{2}-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Kvadrér -160.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-4\times 12\times 400}}{2\times 12}$$

Multiplicer -4 gange 12.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-48\times 400}}{2\times 12}$$

Multiplicer -48 gange 400.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{25600-19200}}{2\times 12}$$

Adder 25600 til -19200.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±\sqrt{6400}}{2\times 12}$$

Tag kvadratroden af 6400.

$$x=\frac{-\left(-160\right)±80}{2\times 12}$$

Det modsatte af -160 er 160.

$$x=\frac{160±80}{2\times 12}$$

Multiplicer 2 gange 12.

$$x=\frac{160±80}{24}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{160±80}{24} når ± er plus. Adder 160 til 80.

$$x=\frac{240}{24}$$

Divider 240 med 24.

$$x=10$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{160±80}{24} når ± er minus. Subtraher 80 fra 160.

$$x=\frac{80}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{80}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x=\frac{10}{3}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=10 x=\frac{10}{3}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$12x^{2}-160x+400=0$$

Subtraher 400 fra begge sider af ligningen.

$$12x^{2}-160x+400-400=-400$$

Hvis 400 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$12x^{2}-160x=-400$$

Divider begge sider med 12.

$$\frac{12x^{2}-160x}{12}=-\frac{400}{12}$$

Division med 12 annullerer multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\left(-\frac{160}{12}\right)x=-\frac{400}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-160}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{400}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-400}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{100}{3}$$

Divider -\frac{40}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{20}{3}. Adder derefter kvadratet af -\frac{20}{3} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-\frac{100}{3}+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{20}{3} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-\frac{100}{3}+\frac{400}{9}$$

Føj -\frac{100}{3} til \frac{400}{9} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktor x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{10}{3}$$

Adder \frac{20}{3} på begge sider af ligningen.

$$x=10 x=\frac{10}{3}$$