Løs 12x^2+36x+27=0

$$12 { x }^{ 2 } +36x+27=0$$

Løs for x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Divider begge sider med 3.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 4x^{2}+ax+bx+9. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Løsningen er det par, der får summen 12.

$$a=6 b=6$$

Omskriv 4x^{2}+12x+9 som \left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

Ud2x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 2x+3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

Omskriv som et binomialt kvadrat.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

For at finde Ligningsløsningen skal du løse 2x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 12 med a, 36 med b og 27 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Kvadrér 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Multiplicer -4 gange 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\times 27}}{2\times 12}$$

Multiplicer -48 gange 27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 12}$$

Adder 1296 til -1296.

$$x=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{36}{2\times 12}$$

Multiplicer 2 gange 12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{-36}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 12.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Subtraher 27 fra begge sider af ligningen.

$$12x^{2}+36x+27-27=-27$$

Hvis 27 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$12x^{2}+36x=-27$$

Divider begge sider med 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=-\frac{27}{12}$$

Division med 12 annullerer multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=-\frac{27}{12}$$

Divider 36 med 12.

$$x^{2}+3x=-\frac{27}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-27}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

Divider 3, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{3}{2}. Adder derefter kvadratet af \frac{3}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{3}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Føj -\frac{9}{4} til \frac{9}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

Subtraher \frac{3}{2} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=-\frac{3}{2}$$