Løs 12x^2+25x-45=0

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1,157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3,2405458$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 12 med a, 25 med b og -45 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrér 25.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicer -4 gange 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicer -48 gange -45.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

Adder 625 til 2160.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

Multiplicer 2 gange 12.

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} når ± er plus. Adder -25 til \sqrt{2785}.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24} når ± er minus. Subtraher \sqrt{2785} fra -25.

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$12x^{2}+25x-45=0$$

Adder 45 på begge sider af ligningen.

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Hvis -45 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

Subtraher -45 fra 0.

$$12x^{2}+25x=45$$

Divider begge sider med 12.

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

Division med 12 annullerer multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{45}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

Divider \frac{25}{12}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{25}{24}. Adder derefter kvadratet af \frac{25}{24} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{25}{24} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

Føj \frac{15}{4} til \frac{625}{576} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

Subtraher \frac{25}{24} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$