Løs 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 12x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

Da ab er positivt, skal a og b have samme fortegn. Da a+b er positivt, er a og b begge positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Beregn summen af hvert par.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Løsningen er det par, der får summen 13.

$$a=4 b=9$$

Omskriv 12x^{2}+13x+3 som \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

Ud4x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 3x+1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Løs 3x+1=0 og 4x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 12 med a, 13 med b og 3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Kvadrér 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Multiplicer -4 gange 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

Multiplicer -48 gange 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

Adder 169 til -144.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Tag kvadratroden af 25.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

Multiplicer 2 gange 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-13±5}{24} når ± er plus. Adder -13 til 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{-8}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-13±5}{24} når ± er minus. Subtraher 5 fra -13.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Reducer fraktionen \frac{-18}{24} til de laveste led ved at udtrække og annullere 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Subtraher 3 fra begge sider af ligningen.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

Hvis 3 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$12x^{2}+13x=-3$$

Divider begge sider med 12.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

Division med 12 annullerer multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

Reducer fraktionen \frac{-3}{12} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

Divider \frac{13}{12}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{13}{24}. Adder derefter kvadratet af \frac{13}{24} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{13}{24} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Føj -\frac{1}{4} til \frac{169}{576} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

Faktor x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

Subtraher \frac{13}{24} fra begge sider af ligningen.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$