Løs 11=1+20x-49x^2

$$11=1+20x-49 { x }^{ 2 }$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}\approx 0,204081633-0,403028932i$$

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}\approx 0,204081633+0,403028932i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Subtraher 11 fra begge sider.

$$1+20x-49x^{2}-11=0$$

Subtraher 11 fra 1 for at få -10.

$$-10+20x-49x^{2}=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-49x^{2}+20x-10=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -49 med a, 20 med b og -10 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Kvadrér 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicer -4 gange -49.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+196\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicer 196 gange -10.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-1960}}{2\left(-49\right)}$$

Adder 400 til -1960.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-1560}}{2\left(-49\right)}$$

Tag kvadratroden af -1560.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicer 2 gange -49.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98} når ± er plus. Adder -20 til 2i\sqrt{390}.

$$x=\frac{-20+2\sqrt{390}i}{-98}$$

Divider -20+2i\sqrt{390} med -98.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{390} fra -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{390}i-20}{-98}$$

Divider -20-2i\sqrt{390} med -98.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49} x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Subtraher 1 fra begge sider.

$$20x-49x^{2}=11-1$$

Subtraher 1 fra 11 for at få 10.

$$20x-49x^{2}=10$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-49x^{2}+20x=10$$

Divider begge sider med -49.

$$\frac{-49x^{2}+20x}{-49}=\frac{10}{-49}$$

Division med -49 annullerer multiplikationen med -49.

$$x^{2}+\frac{20}{-49}x=\frac{10}{-49}$$

Divider 20 med -49.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=\frac{10}{-49}$$

Divider 10 med -49.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=-\frac{10}{49}$$

Divider -\frac{20}{49}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{10}{49}. Adder derefter kvadratet af -\frac{10}{49} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{10}{49}+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{10}{49} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{10}{49}+\frac{100}{2401}$$

Føj -\frac{10}{49} til \frac{100}{2401} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{390}{2401}$$

Faktor x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{390}{2401}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{390}{2401}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{10}{49}=\frac{\sqrt{390}i}{49} x-\frac{10}{49}=-\frac{\sqrt{390}i}{49}$$

Adder \frac{10}{49} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49} x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$