Løs 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Løs for y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 3y^{2} fra begge sider.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Omarranger polynomiet for at placere det i standardformlen. Placer leddene i rækkefølge fra højeste til laveste potens.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som -3y^{2}+ay+by+4. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Løsningen er det par, der får summen 11.

$$a=12 b=-1$$

Omskriv -3y^{2}+11y+4 som \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right).

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Udfaktoriser 3y i -3y^{2}+12y.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Udfaktoriser fællesleddet -y+4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Løs -y+4=0 og 3y+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher 3y^{2} fra begge sider.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Tilføj 4 på begge sider.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -3 med a, 11 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrér 11.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer -4 gange -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 12 gange 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Adder 121 til 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Tag kvadratroden af 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicer 2 gange -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-11±13}{-6} når ± er plus. Adder -11 til 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{-6} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{-11±13}{-6} når ± er minus. Subtraher 13 fra -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Divider -24 med -6.

$$y=4$$

Ligningen er nu løst.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher 3y^{2} fra begge sider.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Divider begge sider med -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

Division med -3 annullerer multiplikationen med -3.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Divider 11 med -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Divider -4 med -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Divider -\frac{11}{3}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{11}{6}. Adder derefter kvadratet af -\frac{11}{6} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{11}{6} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Føj \frac{4}{3} til \frac{121}{36} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktor y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Forenkling.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Adder \frac{11}{6} på begge sider af ligningen.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$