Løs 11x^2-26x-21=0

$$11 x ^ { 2 } - 26 x - 21 = 0$$

Løs for x

$$x=-\frac{7}{11}\approx -0,636363636$$

$$x=3$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 11x^{2}+ax+bx-21. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=-26 ab=11\left(-21\right)=-231$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er negativt, har det negative tal en højere absolut værdi end det positive. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -231.

$$1,-231 3,-77 7,-33 11,-21$$

Beregn summen af hvert par.

$$1-231=-230 3-77=-74 7-33=-26 11-21=-10$$

Løsningen er det par, der får summen -26.

$$a=-33 b=7$$

Omskriv 11x^{2}-26x-21 som \left(11x^{2}-33x\right)+\left(7x-21\right).

$$\left(11x^{2}-33x\right)+\left(7x-21\right)$$

Ud11x i den første og 7 i den anden gruppe.

$$11x\left(x-3\right)+7\left(x-3\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet x-3 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(x-3\right)\left(11x+7\right)$$

Løs x-3=0 og 11x+7=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=3 x=-\frac{7}{11}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$11x^{2}-26x-21=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 11 med a, -26 med b og -21 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{\left(-26\right)^{2}-4\times 11\left(-21\right)}}{2\times 11}$$

Kvadrér -26.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-4\times 11\left(-21\right)}}{2\times 11}$$

Multiplicer -4 gange 11.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-44\left(-21\right)}}{2\times 11}$$

Multiplicer -44 gange -21.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676+924}}{2\times 11}$$

Adder 676 til 924.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{1600}}{2\times 11}$$

Tag kvadratroden af 1600.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±40}{2\times 11}$$

Det modsatte af -26 er 26.

$$x=\frac{26±40}{2\times 11}$$

Multiplicer 2 gange 11.

$$x=\frac{26±40}{22}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{26±40}{22} når ± er plus. Adder 26 til 40.

$$x=\frac{66}{22}$$

Divider 66 med 22.

$$x=3$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{26±40}{22} når ± er minus. Subtraher 40 fra 26.

$$x=-\frac{14}{22}$$

Reducer fraktionen \frac{-14}{22} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=-\frac{7}{11}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=3 x=-\frac{7}{11}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$11x^{2}-26x-21=0$$

Adder 21 på begge sider af ligningen.

$$11x^{2}-26x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Hvis -21 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$11x^{2}-26x=-\left(-21\right)$$

Subtraher -21 fra 0.

$$11x^{2}-26x=21$$

Divider begge sider med 11.

$$\frac{11x^{2}-26x}{11}=\frac{21}{11}$$

Division med 11 annullerer multiplikationen med 11.

$$x^{2}-\frac{26}{11}x=\frac{21}{11}$$

Divider -\frac{26}{11}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{13}{11}. Adder derefter kvadratet af -\frac{13}{11} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{26}{11}x+\left(-\frac{13}{11}\right)^{2}=\frac{21}{11}+\left(-\frac{13}{11}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{13}{11} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{26}{11}x+\frac{169}{121}=\frac{21}{11}+\frac{169}{121}$$

Føj \frac{21}{11} til \frac{169}{121} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{26}{11}x+\frac{169}{121}=\frac{400}{121}$$

Faktor x^{2}-\frac{26}{11}x+\frac{169}{121}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{13}{11}\right)^{2}=\frac{400}{121}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{121}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{13}{11}=\frac{20}{11} x-\frac{13}{11}=-\frac{20}{11}$$

Adder \frac{13}{11} på begge sider af ligningen.

$$x=3 x=-\frac{7}{11}$$