Løs 101y^2-10y=-24

$$101 { y }^{ 2 } -10y=-24$$

Løs for y

$$y=\frac{5+\sqrt{2399}i}{101}\approx 0,04950495+0,484946412i$$

$$y=\frac{-\sqrt{2399}i+5}{101}\approx 0,04950495-0,484946412i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$101y^{2}-10y=-24$$

Adder 24 på begge sider af ligningen.

$$101y^{2}-10y-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Hvis -24 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$101y^{2}-10y-\left(-24\right)=0$$

Subtraher -24 fra 0.

$$101y^{2}-10y+24=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 101 med a, -10 med b og 24 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 101\times 24}}{2\times 101}$$

Kvadrér -10.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 101\times 24}}{2\times 101}$$

Multiplicer -4 gange 101.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-404\times 24}}{2\times 101}$$

Multiplicer -404 gange 24.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-9696}}{2\times 101}$$

Adder 100 til -9696.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-9596}}{2\times 101}$$

Tag kvadratroden af -9596.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{2399}i}{2\times 101}$$

Det modsatte af -10 er 10.

$$y=\frac{10±2\sqrt{2399}i}{2\times 101}$$

Multiplicer 2 gange 101.

$$y=\frac{10±2\sqrt{2399}i}{202}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{10±2\sqrt{2399}i}{202} når ± er plus. Adder 10 til 2i\sqrt{2399}.

$$y=\frac{10+2\sqrt{2399}i}{202}$$

Divider 10+2i\sqrt{2399} med 202.

$$y=\frac{5+\sqrt{2399}i}{101}$$

Nu skal du løse ligningen, y=\frac{10±2\sqrt{2399}i}{202} når ± er minus. Subtraher 2i\sqrt{2399} fra 10.

$$y=\frac{-2\sqrt{2399}i+10}{202}$$

Divider 10-2i\sqrt{2399} med 202.

$$y=\frac{-\sqrt{2399}i+5}{101}$$

Ligningen er nu løst.

$$y=\frac{5+\sqrt{2399}i}{101} y=\frac{-\sqrt{2399}i+5}{101}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$101y^{2}-10y=-24$$

Divider begge sider med 101.

$$\frac{101y^{2}-10y}{101}=-\frac{24}{101}$$

Division med 101 annullerer multiplikationen med 101.

$$y^{2}-\frac{10}{101}y=-\frac{24}{101}$$

Divider -\frac{10}{101}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{5}{101}. Adder derefter kvadratet af -\frac{5}{101} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-\frac{10}{101}y+\left(-\frac{5}{101}\right)^{2}=-\frac{24}{101}+\left(-\frac{5}{101}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{5}{101} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$y^{2}-\frac{10}{101}y+\frac{25}{10201}=-\frac{24}{101}+\frac{25}{10201}$$

Føj -\frac{24}{101} til \frac{25}{10201} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$y^{2}-\frac{10}{101}y+\frac{25}{10201}=-\frac{2399}{10201}$$

Faktor y^{2}-\frac{10}{101}y+\frac{25}{10201}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{5}{101}\right)^{2}=-\frac{2399}{10201}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{5}{101}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2399}{10201}}$$

Forenkling.

$$y-\frac{5}{101}=\frac{\sqrt{2399}i}{101} y-\frac{5}{101}=-\frac{\sqrt{2399}i}{101}$$

Adder \frac{5}{101} på begge sider af ligningen.

$$y=\frac{5+\sqrt{2399}i}{101} y=\frac{-\sqrt{2399}i+5}{101}$$