Løs 100=x(30-2x)

$$100=x(30-2x)$$

Løs for x

$$x=5$$

$$x=10$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 30-2x.

$$100=30x-2x^{2}$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$30x-2x^{2}=100$$

Subtraher 100 fra begge sider.

$$30x-2x^{2}-100=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+30x-100=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 30 med b og -100 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-2\right)\left(-100\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-2\right)\left(-100\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+8\left(-100\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange -100.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-800}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 900 til -800.

$$x=\frac{-30±\sqrt{100}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 100.

$$x=\frac{-30±10}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-30±10}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-30±10}{-4} når ± er plus. Adder -30 til 10.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Divider -20 med -4.

$$x=5$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-30±10}{-4} når ± er minus. Subtraher 10 fra -30.

$$x=-\frac{40}{-4}$$

Divider -40 med -4.

$$x=10$$

Ligningen er nu løst.

$$x=5 x=10$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 30-2x.

$$100=30x-2x^{2}$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$30x-2x^{2}=100$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-2x^{2}+30x=100$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+30x}{-2}=\frac{100}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{30}{-2}x=\frac{100}{-2}$$

Divider 30 med -2.

$$x^{2}-15x=\frac{100}{-2}$$

Divider 100 med -2.

$$x^{2}-15x=-50$$

Divider -15, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{15}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{15}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{15}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-50+\frac{225}{4}$$

Adder -50 til \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adder \frac{15}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=10 x=5$$