Løs 100=x(20-x)

$$100=x(20-x)$$

Løs for x

$$x=10$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 20-x.

$$100=20x-x^{2}$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$20x-x^{2}=100$$

Subtraher 100 fra begge sider.

$$20x-x^{2}-100=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-x^{2}+20x-100=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -1 med a, 20 med b og -100 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-1\right)\left(-100\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrér 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-1\right)\left(-100\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer -4 gange -1.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+4\left(-100\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 4 gange -100.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-400}}{2\left(-1\right)}$$

Adder 400 til -400.

$$x=\frac{-20±\sqrt{0}}{2\left(-1\right)}$$

Tag kvadratroden af 0.

$$x=-\frac{20}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicer 2 gange -1.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Divider -20 med -2.

$$x=10$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere x med 20-x.

$$100=20x-x^{2}$$

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$20x-x^{2}=100$$

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-x^{2}+20x=100$$

Divider begge sider med -1.

$$\frac{-x^{2}+20x}{-1}=\frac{100}{-1}$$

Division med -1 annullerer multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{20}{-1}x=\frac{100}{-1}$$

Divider 20 med -1.

$$x^{2}-20x=\frac{100}{-1}$$

Divider 100 med -1.

$$x^{2}-20x=-100$$

Divider -20, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -10. Adder derefter kvadratet af -10 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-20x+\left(-10\right)^{2}=-100+\left(-10\right)^{2}$$

Kvadrér -10.

$$x^{2}-20x+100=-100+100$$

Adder -100 til 100.

$$x^{2}-20x+100=0$$

Faktor x^{2}-20x+100. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-10\right)^{2}=0$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-10\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Forenkling.

$$x-10=0 x-10=0$$

Adder 10 på begge sider af ligningen.

$$x=10 x=10$$

Ligningen er nu løst. Løsningerne er de samme.

$$x=10$$