Løs 10x^2-15x+2=0

$$10 x ^ { 2 } - 15 x + 2 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 1,352079729$$

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 0,147920271$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 10 med a, -15 med b og 2 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Kvadrér -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Multiplicer -4 gange 10.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-40\times 2}}{2\times 10}$$

Multiplicer -40 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-80}}{2\times 10}$$

Adder 225 til -80.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

Det modsatte af -15 er 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

Multiplicer 2 gange 10.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±\sqrt{145}}{20} når ± er plus. Adder 15 til \sqrt{145}.

$$x=\frac{\sqrt{145}+15}{20}$$

Divider 15+\sqrt{145} med 20.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{15±\sqrt{145}}{20} når ± er minus. Subtraher \sqrt{145} fra 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{145}}{20}$$

Divider 15-\sqrt{145} med 20.

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

Subtraher 2 fra begge sider af ligningen.

$$10x^{2}-15x+2-2=-2$$

Hvis 2 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$10x^{2}-15x=-2$$

Divider begge sider med 10.

$$\frac{10x^{2}-15x}{10}=-\frac{2}{10}$$

Division med 10 annullerer multiplikationen med 10.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{10}\right)x=-\frac{2}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{-15}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 5.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{-2}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{5}$$

Divider -\frac{3}{2}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{4}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{4} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{4} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{16}$$

Føj -\frac{1}{5} til \frac{9}{16} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{29}{80}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat, kan det generelt altid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{29}{80}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{80}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{145}}{20} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{145}}{20}$$

Adder \frac{3}{4} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$