Løs 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 10x^{2}+ax+bx-12. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Løsningen er det par, der får summen 7.

$$a=-8 b=15$$

Omskriv 10x^{2}+7x-12 som \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Ud2x i den første og 3 i den anden gruppe.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 5x-4 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Løs 5x-4=0 og 2x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 10 med a, 7 med b og -12 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Kvadrér 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multiplicer -4 gange 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Multiplicer -40 gange -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Adder 49 til 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Tag kvadratroden af 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Multiplicer 2 gange 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±23}{20} når ± er plus. Adder -7 til 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Reducer fraktionen \frac{16}{20} til de laveste led ved at udtrække og annullere 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-7±23}{20} når ± er minus. Subtraher 23 fra -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Reducer fraktionen \frac{-30}{20} til de laveste led ved at udtrække og annullere 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Adder 12 på begge sider af ligningen.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Hvis -12 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Subtraher -12 fra 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Divider begge sider med 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Division med 10 annullerer multiplikationen med 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Reducer fraktionen \frac{12}{10} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Divider \frac{7}{10}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{7}{20}. Adder derefter kvadratet af \frac{7}{20} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{7}{20} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Føj \frac{6}{5} til \frac{49}{400} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Subtraher \frac{7}{20} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$