Løs 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Løs for k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 10k^{2}+ak+bk-1. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -10.

$$-1,10 -2,5$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Løsningen er det par, der får summen 9.

$$a=-1 b=10$$

Omskriv 10k^{2}+9k-1 som \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Udfaktoriser k i 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Udfaktoriser fællesleddet 10k-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Løs 10k-1=0 og k+1=0 for at finde Lignings løsninger.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 10 med a, 9 med b og -1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Kvadrér 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multiplicer -4 gange 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Multiplicer -40 gange -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Adder 81 til 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Tag kvadratroden af 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Multiplicer 2 gange 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Nu skal du løse ligningen, k=\frac{-9±11}{20} når ± er plus. Adder -9 til 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{20} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, k=\frac{-9±11}{20} når ± er minus. Subtraher 11 fra -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Divider -20 med 20.

$$k=-1$$

Ligningen er nu løst.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Adder 1 på begge sider af ligningen.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Hvis -1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Subtraher -1 fra 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Divider begge sider med 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Division med 10 annullerer multiplikationen med 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Divider \frac{9}{10}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{9}{20}. Adder derefter kvadratet af \frac{9}{20} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{9}{20} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Føj \frac{1}{10} til \frac{81}{400} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Faktor k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Forenkling.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Subtraher \frac{9}{20} fra begge sider af ligningen.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$