Løs 10x^2+10x+8=3x^2-10x+11

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

Løs for x

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

Vejledning i faktorisering ved gruppering

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Kombiner 10x^{2} og -3x^{2} for at få 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Tilføj 10x på begge sider.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Kombiner 10x og 10x for at få 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Subtraher 11 fra begge sider.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Subtraher 11 fra 8 for at få -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Hvis du vil løse ligningen, skal du faktor venstre side ved at gruppere. For det første skal venstre side ikke skrives som 7x^{2}+ax+bx-3. Hvis du vil finde a og b, skal du konfigurere et system, der skal løses.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

Da ab er negative, skal a og b have de modsatte tegn. Da a+b er positivt, har det positive tal en større absolut værdi end det negative. Vis alle disse heltals par, der giver produkt -21.

$$-1,21 -3,7$$

Beregn summen af hvert par.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Løsningen er det par, der får summen 20.

$$a=-1 b=21$$

Omskriv 7x^{2}+20x-3 som \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right).

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

Udx i den første og 3 i den anden gruppe.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

Udfaktoriser fællesleddet 7x-1 ved hjælp af fordelingsegenskaben.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

Løs 7x-1=0 og x+3=0 for at finde Lignings løsninger.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Kombiner 10x^{2} og -3x^{2} for at få 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Tilføj 10x på begge sider.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Kombiner 10x og 10x for at få 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Subtraher 11 fra begge sider.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Subtraher 11 fra 8 for at få -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 7 med a, 20 med b og -3 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrér 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -4 gange 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Multiplicer -28 gange -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

Adder 400 til 84.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

Tag kvadratroden af 484.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

Multiplicer 2 gange 7.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-20±22}{14} når ± er plus. Adder -20 til 22.

$$x=\frac{2}{14}$$

Reducer fraktionen \frac{2}{14} til de laveste led ved at udtrække og annullere 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-20±22}{14} når ± er minus. Subtraher 22 fra -20.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Divider -42 med 14.

$$x=-3$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Subtraher 3x^{2} fra begge sider.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Kombiner 10x^{2} og -3x^{2} for at få 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Tilføj 10x på begge sider.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Kombiner 10x og 10x for at få 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Subtraher 8 fra begge sider.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

Subtraher 8 fra 11 for at få 3.

$$7x^{2}+20x=3$$

Divider begge sider med 7.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

Division med 7 annullerer multiplikationen med 7.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

Divider \frac{20}{7}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få \frac{10}{7}. Adder derefter kvadratet af \frac{10}{7} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere \frac{10}{7} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

Føj \frac{3}{7} til \frac{100}{49} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

Faktor x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

Forenkling.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

Subtraher \frac{10}{7} fra begge sider af ligningen.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$