Løs 10^2+x^2=8^2-(12-x)^2

$$10 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } - ( 12 - x ) ^ { 2 }$$

Løs for x (complex solution)

$$x=6+3\sqrt{6}i\approx 6+7,348469228i$$

$$x=-3\sqrt{6}i+6\approx 6-7,348469228i$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Beregn 10 til potensen af 2, og få 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Beregn 8 til potensen af 2, og få 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(12-x\right)^{2}.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

For at finde det modsatte af 144-24x+x^{2} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Subtraher 144 fra 64 for at få -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Subtraher -80 fra begge sider.

$$100+x^{2}-\left(-80\right)=24x-x^{2}$$

Det modsatte af -80 er 80.

$$100+x^{2}+80=24x-x^{2}$$

Subtraher 24x fra begge sider.

$$100+x^{2}+80-24x=-x^{2}$$

Tilføj 100 og 80 for at få 180.

$$180+x^{2}-24x=-x^{2}$$

Tilføj x^{2} på begge sider.

$$180+x^{2}-24x+x^{2}=0$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$180+2x^{2}-24x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$2x^{2}-24x+180=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat 2 med a, -24 med b og 180 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Kvadrér -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Multiplicer -4 gange 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 180}}{2\times 2}$$

Multiplicer -8 gange 180.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-1440}}{2\times 2}$$

Adder 576 til -1440.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-864}}{2\times 2}$$

Tag kvadratroden af -864.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Det modsatte af -24 er 24.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Multiplicer 2 gange 2.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} når ± er plus. Adder 24 til 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{24+12\sqrt{6}i}{4}$$

Divider 24+12i\sqrt{6} med 4.

$$x=6+3\sqrt{6}i$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4} når ± er minus. Subtraher 12i\sqrt{6} fra 24.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i+24}{4}$$

Divider 24-12i\sqrt{6} med 4.

$$x=-3\sqrt{6}i+6$$

Ligningen er nu løst.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Beregn 10 til potensen af 2, og få 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Beregn 8 til potensen af 2, og få 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Brug binomialsætningen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til at udvide \left(12-x\right)^{2}.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

For at finde det modsatte af 144-24x+x^{2} skal du finde det modsatte af hvert led.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Subtraher 144 fra 64 for at få -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Subtraher 24x fra begge sider.

$$100+x^{2}-24x=-80-x^{2}$$

Tilføj x^{2} på begge sider.

$$100+x^{2}-24x+x^{2}=-80$$

Kombiner x^{2} og x^{2} for at få 2x^{2}.

$$100+2x^{2}-24x=-80$$

Subtraher 100 fra begge sider.

$$2x^{2}-24x=-80-100$$

Subtraher 100 fra -80 for at få -180.

$$2x^{2}-24x=-180$$

Divider begge sider med 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{180}{2}$$

Division med 2 annullerer multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{180}{2}$$

Divider -24 med 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{180}{2}$$

Divider -180 med 2.

$$x^{2}-12x=-90$$

Divider -12, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -6. Adder derefter kvadratet af -6 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-90+\left(-6\right)^{2}$$

Kvadrér -6.

$$x^{2}-12x+36=-90+36$$

Adder -90 til 36.

$$x^{2}-12x+36=-54$$

Faktor x^{2}-12x+36. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-6\right)^{2}=-54$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{-54}$$

Forenkling.

$$x-6=3\sqrt{6}i x-6=-3\sqrt{6}i$$

Adder 6 på begge sider af ligningen.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$