Løs 1-2(x-3)(x-11)=0

$$1 - 2 ( x - 3 ) ( x - 11 ) = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{66}}{2}+7\approx 11,062019202$$

$$x=-\frac{\sqrt{66}}{2}+7\approx 2,937980798$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Multiplicer -1 og 2 for at få -2.

$$1-2\left(x-3\right)\left(x-11\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2 med x-3.

$$1+\left(-2x+6\right)\left(x-11\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2x+6 med x-11, og kombiner ens led.

$$1-2x^{2}+28x-66=0$$

Subtraher 66 fra 1 for at få -65.

$$-65-2x^{2}+28x=0$$

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-2x^{2}+28x-65=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -2 med a, 28 med b og -65 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-2\right)\left(-65\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrér 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-2\right)\left(-65\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer -4 gange -2.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+8\left(-65\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 8 gange -65.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-520}}{2\left(-2\right)}$$

Adder 784 til -520.

$$x=\frac{-28±\sqrt{264}}{2\left(-2\right)}$$

Tag kvadratroden af 264.

$$x=\frac{-28±2\sqrt{66}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicer 2 gange -2.

$$x=\frac{-28±2\sqrt{66}}{-4}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-28±2\sqrt{66}}{-4} når ± er plus. Adder -28 til 2\sqrt{66}.

$$x=\frac{2\sqrt{66}-28}{-4}$$

Divider -28+2\sqrt{66} med -4.

$$x=-\frac{\sqrt{66}}{2}+7$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-28±2\sqrt{66}}{-4} når ± er minus. Subtraher 2\sqrt{66} fra -28.

$$x=\frac{-2\sqrt{66}-28}{-4}$$

Divider -28-2\sqrt{66} med -4.

$$x=\frac{\sqrt{66}}{2}+7$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{\sqrt{66}}{2}+7 x=\frac{\sqrt{66}}{2}+7$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Multiplicer -1 og 2 for at få -2.

$$1-2\left(x-3\right)\left(x-11\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2 med x-3.

$$1+\left(-2x+6\right)\left(x-11\right)=0$$

Brug fordelingsegenskaben til at multiplicere -2x+6 med x-11, og kombiner ens led.

$$1-2x^{2}+28x-66=0$$

Subtraher 66 fra 1 for at få -65.

$$-65-2x^{2}+28x=0$$

Tilføj 65 på begge sider. Ethvert tal plus nul giver tallet selv.

$$-2x^{2}+28x=65$$

Divider begge sider med -2.

$$\frac{-2x^{2}+28x}{-2}=\frac{65}{-2}$$

Division med -2 annullerer multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{28}{-2}x=\frac{65}{-2}$$

Divider 28 med -2.

$$x^{2}-14x=\frac{65}{-2}$$

Divider 65 med -2.

$$x^{2}-14x=-\frac{65}{2}$$

Divider -14, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -7. Adder derefter kvadratet af -7 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-\frac{65}{2}+\left(-7\right)^{2}$$

Kvadrér -7.

$$x^{2}-14x+49=-\frac{65}{2}+49$$

Adder -\frac{65}{2} til 49.

$$x^{2}-14x+49=\frac{33}{2}$$

Faktor x^{2}-14x+49. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-7\right)^{2}=\frac{33}{2}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{2}}$$

Forenkling.

$$x-7=\frac{\sqrt{66}}{2} x-7=-\frac{\sqrt{66}}{2}$$

Adder 7 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{66}}{2}+7 x=-\frac{\sqrt{66}}{2}+7$$