Løs 0=-4x^2+4x+1

$$0=-4 { x }^{ 2 } +4x+1$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} \approx 1,207106781$$

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}\approx -0,207106781$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$-4x^{2}+4x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -4 med a, 4 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrér 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer -4 gange -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\left(-4\right)}$$

Adder 16 til 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\left(-4\right)}$$

Tag kvadratroden af 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicer 2 gange -4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8} når ± er plus. Adder -4 til 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{-8}$$

Divider -4+4\sqrt{2} med -8.

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8} når ± er minus. Subtraher 4\sqrt{2} fra -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{-8}$$

Divider -4-4\sqrt{2} med -8.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2} x=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Skift side, så alle variable led er placeret på venstre side.

$$-4x^{2}+4x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider. Ethvert tal trukket fra nul giver tallets negation.

$$-4x^{2}+4x=-1$$

Divider begge sider med -4.

$$\frac{-4x^{2}+4x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Division med -4 annullerer multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\frac{4}{-4}x=-\frac{1}{-4}$$

Divider 4 med -4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-4}$$

Divider -1 med -4.

$$x^{2}-x=\frac{1}{4}$$

Divider -1, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{2}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{2} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{2} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Føj \frac{1}{4} til \frac{1}{4} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Adder \frac{1}{2} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$