Løs -9x^2+72x-102=0

$$-9 { x }^{ 2 } +72x-102 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{42}}{3}+4\approx 6,160246899$$

$$x=-\frac{\sqrt{42}}{3}+4\approx 1,839753101$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-9x^{2}+72x-102=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -9 med a, 72 med b og -102 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-72±\sqrt{72^{2}-4\left(-9\right)\left(-102\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kvadrér 72.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-4\left(-9\right)\left(-102\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer -4 gange -9.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184+36\left(-102\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 36 gange -102.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-3672}}{2\left(-9\right)}$$

Adder 5184 til -3672.

$$x=\frac{-72±\sqrt{1512}}{2\left(-9\right)}$$

Tag kvadratroden af 1512.

$$x=\frac{-72±6\sqrt{42}}{2\left(-9\right)}$$

Multiplicer 2 gange -9.

$$x=\frac{-72±6\sqrt{42}}{-18}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-72±6\sqrt{42}}{-18} når ± er plus. Adder -72 til 6\sqrt{42}.

$$x=\frac{6\sqrt{42}-72}{-18}$$

Divider -72+6\sqrt{42} med -18.

$$x=-\frac{\sqrt{42}}{3}+4$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-72±6\sqrt{42}}{-18} når ± er minus. Subtraher 6\sqrt{42} fra -72.

$$x=\frac{-6\sqrt{42}-72}{-18}$$

Divider -72-6\sqrt{42} med -18.

$$x=\frac{\sqrt{42}}{3}+4$$

Ligningen er nu løst.

$$x=-\frac{\sqrt{42}}{3}+4 x=\frac{\sqrt{42}}{3}+4$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-9x^{2}+72x-102=0$$

Adder 102 på begge sider af ligningen.

$$-9x^{2}+72x-102-\left(-102\right)=-\left(-102\right)$$

Hvis -102 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-9x^{2}+72x=-\left(-102\right)$$

Subtraher -102 fra 0.

$$-9x^{2}+72x=102$$

Divider begge sider med -9.

$$\frac{-9x^{2}+72x}{-9}=\frac{102}{-9}$$

Division med -9 annullerer multiplikationen med -9.

$$x^{2}+\frac{72}{-9}x=\frac{102}{-9}$$

Divider 72 med -9.

$$x^{2}-8x=\frac{102}{-9}$$

Reducer fraktionen \frac{102}{-9} til de laveste led ved at udtrække og annullere 3.

$$x^{2}-8x=-\frac{34}{3}$$

Divider -8, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -4. Adder derefter kvadratet af -4 på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-\frac{34}{3}+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrér -4.

$$x^{2}-8x+16=-\frac{34}{3}+16$$

Adder -\frac{34}{3} til 16.

$$x^{2}-8x+16=\frac{14}{3}$$

Faktor x^{2}-8x+16. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-4\right)^{2}=\frac{14}{3}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{14}{3}}$$

Forenkling.

$$x-4=\frac{\sqrt{42}}{3} x-4=-\frac{\sqrt{42}}{3}$$

Adder 4 på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{42}}{3}+4 x=-\frac{\sqrt{42}}{3}+4$$