Løs -5x^2+x+1=0

$$-5 { x }^{ 2 } +x+1=0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{10}\approx 0,558257569$$

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{10}\approx -0,358257569$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-5x^{2}+x+1=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -5 med a, 1 med b og 1 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-5\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrér 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-5\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer -4 gange -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+20}}{2\left(-5\right)}$$

Adder 1 til 20.

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 2 gange -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-10} når ± er plus. Adder -1 til \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-1}{-10}$$

Divider -1+\sqrt{21} med -10.

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-1±\sqrt{21}}{-10} når ± er minus. Subtraher \sqrt{21} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-1}{-10}$$

Divider -1-\sqrt{21} med -10.

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{1-\sqrt{21}}{10} x=\frac{\sqrt{21}+1}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-5x^{2}+x+1=0$$

Subtraher 1 fra begge sider af ligningen.

$$-5x^{2}+x+1-1=-1$$

Hvis 1 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-5x^{2}+x=-1$$

Divider begge sider med -5.

$$\frac{-5x^{2}+x}{-5}=-\frac{1}{-5}$$

Division med -5 annullerer multiplikationen med -5.

$$x^{2}+\frac{1}{-5}x=-\frac{1}{-5}$$

Divider 1 med -5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=-\frac{1}{-5}$$

Divider -1 med -5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

Divider -\frac{1}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{1}{10}. Adder derefter kvadratet af -\frac{1}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{1}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{1}{5}+\frac{1}{100}$$

Føj \frac{1}{5} til \frac{1}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{21}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{21}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{100}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{21}}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{21}}{10}$$

Adder \frac{1}{10} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{21}+1}{10} x=\frac{1-\sqrt{21}}{10}$$