Løs -5x^2+3x+4=0

$$-5 { x }^{ 2 } +3x+4 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{89} + 3}{10} \approx 1,243398113$$

$$x=\frac{3-\sqrt{89}}{10}\approx -0,643398113$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-5x^{2}+3x+4=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -5 med a, 3 med b og 4 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-5\right)\times 4}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrér 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-5\right)\times 4}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer -4 gange -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+20\times 4}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 20 gange 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+80}}{2\left(-5\right)}$$

Adder 9 til 80.

$$x=\frac{-3±\sqrt{89}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplicer 2 gange -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{89}}{-10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{89}}{-10} når ± er plus. Adder -3 til \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-3}{-10}$$

Divider -3+\sqrt{89} med -10.

$$x=\frac{3-\sqrt{89}}{10}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-3±\sqrt{89}}{-10} når ± er minus. Subtraher \sqrt{89} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-3}{-10}$$

Divider -3-\sqrt{89} med -10.

$$x=\frac{\sqrt{89}+3}{10}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{3-\sqrt{89}}{10} x=\frac{\sqrt{89}+3}{10}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-5x^{2}+3x+4=0$$

Subtraher 4 fra begge sider af ligningen.

$$-5x^{2}+3x+4-4=-4$$

Hvis 4 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-5x^{2}+3x=-4$$

Divider begge sider med -5.

$$\frac{-5x^{2}+3x}{-5}=-\frac{4}{-5}$$

Division med -5 annullerer multiplikationen med -5.

$$x^{2}+\frac{3}{-5}x=-\frac{4}{-5}$$

Divider 3 med -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{4}{-5}$$

Divider -4 med -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{4}{5}$$

Divider -\frac{3}{5}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{3}{10}. Adder derefter kvadratet af -\frac{3}{10} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{3}{10} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{4}{5}+\frac{9}{100}$$

Føj \frac{4}{5} til \frac{9}{100} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{89}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{89}{100}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{100}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{89}}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{89}}{10}$$

Adder \frac{3}{10} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{89}+3}{10} x=\frac{3-\sqrt{89}}{10}$$