Løs -49x^2+9x+22=0

$$-49 { x }^{ 2 } +9x+22=0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{4393}+9}{98}\approx 0,768160309$$

$$x=\frac{9-\sqrt{4393}}{98}\approx -0,58448684$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-49x^{2}+9x+22=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -49 med a, 9 med b og 22 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-49\right)\times 22}}{2\left(-49\right)}$$

Kvadrér 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-49\right)\times 22}}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicer -4 gange -49.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+196\times 22}}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicer 196 gange 22.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+4312}}{2\left(-49\right)}$$

Adder 81 til 4312.

$$x=\frac{-9±\sqrt{4393}}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicer 2 gange -49.

$$x=\frac{-9±\sqrt{4393}}{-98}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±\sqrt{4393}}{-98} når ± er plus. Adder -9 til \sqrt{4393}.

$$x=\frac{\sqrt{4393}-9}{-98}$$

Divider -9+\sqrt{4393} med -98.

$$x=\frac{9-\sqrt{4393}}{98}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-9±\sqrt{4393}}{-98} når ± er minus. Subtraher \sqrt{4393} fra -9.

$$x=\frac{-\sqrt{4393}-9}{-98}$$

Divider -9-\sqrt{4393} med -98.

$$x=\frac{\sqrt{4393}+9}{98}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{9-\sqrt{4393}}{98} x=\frac{\sqrt{4393}+9}{98}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-49x^{2}+9x+22=0$$

Subtraher 22 fra begge sider af ligningen.

$$-49x^{2}+9x+22-22=-22$$

Hvis 22 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-49x^{2}+9x=-22$$

Divider begge sider med -49.

$$\frac{-49x^{2}+9x}{-49}=-\frac{22}{-49}$$

Division med -49 annullerer multiplikationen med -49.

$$x^{2}+\frac{9}{-49}x=-\frac{22}{-49}$$

Divider 9 med -49.

$$x^{2}-\frac{9}{49}x=-\frac{22}{-49}$$

Divider -22 med -49.

$$x^{2}-\frac{9}{49}x=\frac{22}{49}$$

Divider -\frac{9}{49}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{9}{98}. Adder derefter kvadratet af -\frac{9}{98} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{9}{49}x+\left(-\frac{9}{98}\right)^{2}=\frac{22}{49}+\left(-\frac{9}{98}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{9}{98} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{9}{49}x+\frac{81}{9604}=\frac{22}{49}+\frac{81}{9604}$$

Føj \frac{22}{49} til \frac{81}{9604} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{9}{49}x+\frac{81}{9604}=\frac{4393}{9604}$$

Faktor x^{2}-\frac{9}{49}x+\frac{81}{9604}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{98}\right)^{2}=\frac{4393}{9604}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{98}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4393}{9604}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{9}{98}=\frac{\sqrt{4393}}{98} x-\frac{9}{98}=-\frac{\sqrt{4393}}{98}$$

Adder \frac{9}{98} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{4393}+9}{98} x=\frac{9-\sqrt{4393}}{98}$$