Løs -49x^2+307x+248=0

$$-49 { x }^{ 2 } +307x+248=0$$

Løs for x

$$x = \frac{3 \sqrt{15873} + 307}{98} \approx 6,98943147$$

$$x=\frac{307-3\sqrt{15873}}{98}\approx -0,724125347$$

Vejledning i brug af den kvadratiske formel

Alle ligninger i formatet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjælp af den kvadratiske formel: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formel giver to løsninger: Én løsning, når ± er addition, og én anden løsning, når det er subtraktion.

$$-49x^{2}+307x+248=0$$

Denne ligning er i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Erstat -49 med a, 307 med b og 248 med c i den kvadratiske formel \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-307±\sqrt{307^{2}-4\left(-49\right)\times 248}}{2\left(-49\right)}$$

Kvadrér 307.

$$x=\frac{-307±\sqrt{94249-4\left(-49\right)\times 248}}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicer -4 gange -49.

$$x=\frac{-307±\sqrt{94249+196\times 248}}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicer 196 gange 248.

$$x=\frac{-307±\sqrt{94249+48608}}{2\left(-49\right)}$$

Adder 94249 til 48608.

$$x=\frac{-307±\sqrt{142857}}{2\left(-49\right)}$$

Tag kvadratroden af 142857.

$$x=\frac{-307±3\sqrt{15873}}{2\left(-49\right)}$$

Multiplicer 2 gange -49.

$$x=\frac{-307±3\sqrt{15873}}{-98}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-307±3\sqrt{15873}}{-98} når ± er plus. Adder -307 til 3\sqrt{15873}.

$$x=\frac{3\sqrt{15873}-307}{-98}$$

Divider -307+3\sqrt{15873} med -98.

$$x=\frac{307-3\sqrt{15873}}{98}$$

Nu skal du løse ligningen, x=\frac{-307±3\sqrt{15873}}{-98} når ± er minus. Subtraher 3\sqrt{15873} fra -307.

$$x=\frac{-3\sqrt{15873}-307}{-98}$$

Divider -307-3\sqrt{15873} med -98.

$$x=\frac{3\sqrt{15873}+307}{98}$$

Ligningen er nu løst.

$$x=\frac{307-3\sqrt{15873}}{98} x=\frac{3\sqrt{15873}+307}{98}$$

Vejledning i at fuldføre kvadratet

Kvadratligninger som denne kan løses ved at fuldføre kvadratet. Ligningen skal først være i formlen x^{2}+bx=c for at fuldføre kvadratet.

$$-49x^{2}+307x+248=0$$

Subtraher 248 fra begge sider af ligningen.

$$-49x^{2}+307x+248-248=-248$$

Hvis 248 subtraheres fra sig selv, giver det 0.

$$-49x^{2}+307x=-248$$

Divider begge sider med -49.

$$\frac{-49x^{2}+307x}{-49}=-\frac{248}{-49}$$

Division med -49 annullerer multiplikationen med -49.

$$x^{2}+\frac{307}{-49}x=-\frac{248}{-49}$$

Divider 307 med -49.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x=-\frac{248}{-49}$$

Divider -248 med -49.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x=\frac{248}{49}$$

Divider -\frac{307}{49}, som er koefficienten for leddet x, med 2 for at få -\frac{307}{98}. Adder derefter kvadratet af -\frac{307}{98} på begge sider af ligningen. Dette trin gør venstre side af ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x+\left(-\frac{307}{98}\right)^{2}=\frac{248}{49}+\left(-\frac{307}{98}\right)^{2}$$

Du kan kvadrere -\frac{307}{98} ved at kvadrere både tælleren og nævneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x+\frac{94249}{9604}=\frac{248}{49}+\frac{94249}{9604}$$

Føj \frac{248}{49} til \frac{94249}{9604} ved at finde en fællesnævner og tilføje tællere. Reducer derefter brøken til de mindste led, hvis det er muligt.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x+\frac{94249}{9604}=\frac{142857}{9604}$$

Faktor x^{2}-\frac{307}{49}x+\frac{94249}{9604}. Generelt kan det altid faktoreres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}, når x^{2}+bx+c er et perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{307}{98}\right)^{2}=\frac{142857}{9604}$$

Tag kvadratroden af begge sider i ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{307}{98}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{142857}{9604}}$$

Forenkling.

$$x-\frac{307}{98}=\frac{3\sqrt{15873}}{98} x-\frac{307}{98}=-\frac{3\sqrt{15873}}{98}$$

Adder \frac{307}{98} på begge sider af ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{15873}+307}{98} x=\frac{307-3\sqrt{15873}}{98}$$